Page 8 - Ικανότητες μαθητών Ε'-ΣΤ' Δημοτικού στα κλάσματα και επίλυση προβλήματος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Οι διαφορετικές εκφράσεις του κλάσματος

Είναι κοινά αποδεκτό πως οι όροι «κλάσμα» και «ρητός» χρησιμοποιούνται συχνά από τους
μελετητές της ερευνητικής κοινότητας με διαφορετικούς τρόπους και αυτό δημιουργεί σχετική

σύγχυση (Smith, 2002). Σύμφωνα με την Kieren (1993), ο όρος «κλάσμα» παραπέμπει σε κάποιο

«προσωπικό γνωσιακό σύστημα ιδεών», σύμφωνα με το οποίο λαμβάνει χώρα μια συσχέτιση της
διαίσθησης και της τυπικής πρότερης γνώσης, η οποία βασίζεται στην προσωπική θεώρηση του

καθενός, ενώ ο όρος «ρητός» αφορά σε ένα σύστημα το οποίο είναι κατασκευασμένο από τους
μαθηματικούς. Η άποψη αυτή καταδεικνύει πως η διάκριση αυτή μεταξύ των όρων «κλάσμα» και

«ρητός», βασίζεται στη διάκριση μεταξύ συστημάτων.

Μπορούμε να πούμε πως από τη δεκαετία του 1970, οι ερευνητές ασχολούνται με τις

υποκατασκευές των ρητών αριθμών. Πρώτη η Kieren (1976), εισήγαγε την ιδέα πως οι ρητοί
αριθμοί αποτελούνται από πολλές κατασκευές και πως η κατανόησή τους από τους μαθητές

ανάγεται στην κατανόηση της σύμπλευσης αυτών των κατασκευών. Αρχικά παρουσίασε μια

ταξινόμηση κατασκευών των ρητών αριμών που αποτελούνταν από κλάσματα, δεκαδικά
κλάσματα, κλάσεις ισοδυναμίας κλασμάτων, τελεστές κλπ. Το 1980, η ίδια ερευνήτρια περιέγραψε

5 υποκατασκευές: μέρος – όλου, λόγος, πηλίκο, μέτρο και τελεστής. Υποστήριξε πως αυτές οι

κατασκευές αποτελούν τη βάση για την κατανόηση και σωστή αντιμετώπιση των ρητών αριθμών
και πως καμιά από τις υποκατασκευές δεν είναι δυνατό να σταθεί μόνη της αλλά ταυτόχρονα κάθε

μια δίνει και μια διαφορετική θεώρηση για τα κλάσματα.

Ακολούθησαν διάφοροι ερευνητές οι οποίοι απέδωσαν στους ρητούς και ειδικότερα στα

κλάσματα, διαφορετικά νοήματα. Ο Freudenthal (1983) αναφέρει τέσσερις όψεις των κλασμάτων,
εντάσσοντάς τα στην φαινομενολογική πηγή των ρητών αριθμών. Η πρώτη όψη αφορά στο ρόλο

του κλάσματος ως «τεμαχιστής», αναφερόμενος στην εμπειρική όψη του κλάσματος, που βασίζεται
σε δραστηριότητες όπως η σύγκριση ποσοτήτων. Η δεύτερη όψη αφορά στον πιο διακριτό τρόπο

όπου παρουσιάζονται τα κλάσματα, δηλαδή, στο όλο – μέρος, δηλαδή παρουσιάζονται ως ολότητες

που διαιρούνται σε ίσα μέρη. Η τρίτη όψη του κλάσματος αφορά στην επέκταση της έννοιας του
μέρος – όλου, και αναφέρεται στη σύγκριση μερών διαφορετικών ολοτήτων, και με αυτόν τον

τρόπο επεκτείνει την έννοια του κλάσματος, εντάσσοντας και τα καταχρηστικά κλάσματα. Η
τέταρτη και τελευταία, κατά τον Freudenthal, κατασκευή αφορά στην έννοια του κλάσματος ως

τελεστής και υποστηρίζει πως προκύπτει από τις άλλες τρεις κατασκευές του. Οι Behr, Wachsmuth,
Post & Lesh (1984), υποστηρίζουν πως κάθε ρητός και συνεπώς κάθε κλάσμα μπορεί να

ερμηνευτεί σαν μέρος του όλου, σαν πηλίκο και σαν τελεστής. H Kieren (1993), υποστηρίζει πως η

μορφή μέρος – όλου μπορεί να εμπεριέχεται στις άλλες κατασκευές του ρητού και επομένως κάθε
ρητός μπορεί να ερμηνευτεί σαν πηλίκο, μέτρηση, τελεστής και λόγος.

8